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Comment utiliser la forme canonique (2nde - 1ere)

Comment obtenir la forme canonique

On souhaite mettre sous forme canonique l’expression suivante :

f(x) = x2-6x-7
x2-6x est le début de l’identité remarquable (x-3)2
on a (x-3)2=x2-6x+9
d’où (x-3)2- 9=x2-6x que l’on remplace dans f(x)
f(x) = (x-3)2- 9-7
On continue le calcul en conservant la forme (x-3)2
f(x) = (x-3)2-16

Informations que nous donne cette expression

f(x) = (x-3)2-16

  • pour x=3, on obtient le minimum de la fonction f qui est -16
  • la droite d’équation x=3 est axe de symétrie de la courbe de f
  • f(x) est factorisable :
    • f(x) = (x-3)2-(4)2
    • f(x)= (x-3-4)(x-3+4)
    • f(x)= (x-7)(x+1)
  • f(x)=0 admet deux solutions x=7 et x=-1

Méthode pour des expressions avec a.x2+...

On se place dans le cas où dans l’espression de f(x), on trouve a.x2 (avec a un nombre réel non nul)

f(x) = 2x2+5x-12
On commence par mettre le 2 en facteur
f(x) = 2(x2+(5/2)x-6)
Puis en remarquant que x2-(5/2)x est le début de la forme (x-(5/4))2=x2-(5/2)x +(25/16), on la remplace dans l’expression de f(x) sans oublier -25/16
f(x) = 2[(x+(5/4))2 -(25/16)-6]
on met sous le même dénominateur et on simplifie tout en conservant la forme (x+(5/4))2
f(x) = 2 [ (x+(5/4))2 - (25/16) - (96/16) ]
f(x) =2 [ (x+(5/4))2 - (121/16) ]*
f(x) =2(x+(5/4))2 - (121/8)

Remarques

  • Dans ce cas le minimum est - (121/8) obtenu pour x=- (5/4) ( faîtes attention au signe - )
  • De la même façon , la droite x=- (5/4) est axe de symétrie de la courbe de f
  • Si vous souhaitez factoriser f(x), ne prenez pas la forme canonique finale mais la forme obtenue marquée avec *.

 Les différentes formes canoniques

On peut toujours trouver une forme canonique d’une expression du second degré : f(x) = a.(x-xm)2+ym. Dans ce cas :

  • ym est :
    • le minimum de la fonction f si a est positif
    • le maximum de la fonction f si a est négatif
  • la droite d’équation x=xmest l axe de symétrie de la courbe de f si elle est définie sur IR ou sur un ensemble centré en xm.
  • si a et ym sont :
    • de signes contraires, alors f est factorisable et f(x) =0 admet deux solutions (ou une solution double si ym=0)
    • de même signe, alors f n’est pas factorisable et f(x) est soit toujours positive ou toujours négative (en fonction du signe de a)

Exemples

Courde de f : x -> 2(x-1)<sup>2</sup>+3
Courde de f : x ->-(x+2)<sup>2</sup>-3


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par ffred - le 24 novembre 2003 -


  • > Comment utiliser la forme canonique (2nde - 1ere), le 21 novembre 2004, par Ketchoupy

    Je ne sais pas comment mettre a²+ab+b² sous forme canonique.Je ne sais mettre sous forme canonique que des polynômes de la forme : ax²+bx+c !!

    PetitKetchoupy@hotmail.com





    • > Comment utiliser la forme canonique (2nde - 1ere), le 11 janvier 2007, par sarah80

      j’ai raté keke cour et je navé pa le cour sur la forme canonik mai en suiva cette demarxhe ki é inscrite en haut de la page jai réussi pui jme sui entrainé avec kelke exemple !! jai réussi moi ki ne conaissé pa ce site et ki a lancé une recherche par hasar sur google !! merci



  • > Comment utiliser la forme canonique (2nde - 1ere), le 28 novembre 2004, par danny

    en réponse à ketchoupy :

    a²+ab+b² = a²+2ab+b² - ab

    a²+2ab+b² c’est l’identité remarquable (a+b)², donc

    a²+ab+b² = (a+b)²-ab

    pour c’est tout !





    • > Comment utiliser la forme canonique (2nde - 1ere), le 10 septembre 2005, par loli

      je n’arrive pas a mettre la fonction f(x)= (x2-5x+1) : 5 sous forme canonique



      • > Comment utiliser la forme canonique (2nde - 1ere), le 11 septembre 2005

        j’ai de grosses difficultés en math, je suis bloqué sur un exercice et je n’arrive même pas à le résoudre "on donne l’expression A(x)=x³+3x²-4" 1. factoriser A(x) en commençant par écrire que : A(x) = x³-x²+4x²-4

        2. En déduire la résolution dans R de l’inéquation : (x-1)²-2x+2 : x³+3x³-4 >/= 0

        je n’essaie pas de gratter les reponses, et si vous pouriez mettre des explications ça serait sympa. Je suis vraiment blocké, j’y ai travaillé toute la journée hier. Merci d’avance





      • > Comment utiliser la forme canonique (2nde - 1ere), le 11 septembre 2005, par ffred

        Bonsoir.

        Le seul indice que je peux te donner est de tracer la fonction A(x) sur ta calculatrice.

        Tu devrais "voir" qu’il existe un nombre qui est racine de cette fonction polynôme (qui l’annule)

        Tu pourras par la suite essayer de factoriser A(x) sous la forme A(x)=(x-a)(x2+bx+c) en utilisant la méthode d’authentification. (où a est la racine de A(x) que tu vois sur le graphique de la courbe de A)

        Bon courage !





    • > Comment utiliser la forme canonique (2nde - 1ere), le 25 octobre 2005, par zozo du bourget (93)

      je vous remercie beaucoup pour cet effort, vous aidez lzs gens à trouver leur bonheur.

      continuez ainsi, vous êtes génial !! 





      • > Comment utiliser la forme canonique (2nde - 1ere), le 13 février 2006, par mini-pouss

        Nous avons un problème, notre prof de maths nous a donné un DM à faire mais nous ne savons pas ce qu’est la forme canonique...malgrè vos exemples nous ne comprenons toujours pas. Merci de nous aider :

        P(x)= 3(x-1)(x+3)-15

        Merci de nous répondre rapidement toute la classe de 2°





        • > Comment utiliser la forme canonique (2nde - 1ere), le 13 février 2006, par M.G.

          bonjour. pour pouvoir vous "ramener" aux exemples, vous pouvez commencer par développer l’expression ( ou factoriser par 3 avant de développer ... )puis ça devrait aller... par contre, n’y a-t-il pas d’autres questions de l’énoncé qui peuvent vous éviter l’utilisation du discriminant ? bon courage.



        • > Comment utiliser la forme canonique (2nde - 1ere), le 2 octobre 2007, par max

          tout dabor du développe 3(x-1)(x+3)-15=3x²+6x-24 ensuite tu factorise 3(x²+2x)-24 3((x+1)²-1)-24 car x²+2x est égale a : (x+1)²-1 pour finir tu ne touche pa a (x+1)² mé tu multiplie le -1 par 3 ce ki donne 3(x+1)²-3-24=3(x+1)²-27 voila la forme canonique.



      • > Comment utiliser la forme canonique (2nde - 1ere), le 14 février 2006, par mélaine

        je n’arrive pas a trouver la forme canonique de f(x)= -(1/2)x²+x+(3/2)



        • > Comment utiliser la forme canonique (2nde - 1ere), le 15 février 2006, par M.G.

          bonjour. tu peux commencer par factoriser par -1/2 puis faire comme sur les exemples. bon courage.



        • > Comment utiliser la forme canonique (2nde - 1ere), le 30 mars 2006, par SK

          Salut à vous, moi, j’arrive pas à faire mon probleme de maths : il faut faire un enclos avec la plus grande aire possible, avec 1000M de grillage. ça doit etre un rectangle (ou carré) mais l’enclos est a coté dune riviere, donc on ne grillage que 3 cotes... la prof nous a dit de faire ça avec la forme canonique. aidez moi please !!



        • > Comment utiliser la forme canonique (2nde - 1ere), le 31 mars 2006, par M.G.

          Bonsoir.
          - tu peux commencer par faire un dessin
          - tu nommes x la longueur d’un côté, tu déduis la longueur de l’autre en fonction de x
          - tu calcules l’aire en fonction de x et tu as du second degré
          - tu appliques ensuite le travail vu en cours... bon courage



      • > Comment utiliser la forme canonique (2nde - 1ere), le 15 octobre 2006, par sem

        bonjour,

        on me donne 2x²+14w-17 je touvé sa forme canonique 2(x+7/4)²-185/8 je voulais vous demander si c’est bon ?





        • > Comment utiliser la forme canonique (2nde - 1ere), le 16 octobre 2006, par M.G.

          bonjour. tu peux vérifier en développant ce que tu as obtenu ( long ? ) ou en comparant les coordonnées du sommet pour les deux expressions ou en utilisant la calculatrice ( table ou graph ... ) ici le 7/4 est à revoir ... bon courage



      • discriminant, le 23 novembre 2006

        Bonjour, Nous avons compris la technique du calcul du discriminant mais nous voudrions savoir ce qu’est un discriminant ? Merci



        • > discriminant, le 24 novembre 2006, par M.G.

          bonsoir. c’est un "outil" qui te permet de savoir si il y des solutions réelles .... pour une équation du second degré donnée ... puis de les déterminer.



      • > Comment utiliser la forme canonique (2nde - 1ere), le 10 décembre 2006, par Dadou

        Je me posais juste une question comme ça, j’ai un DM et je cherche une forme canonique je pense l’avoir trouvé mais lorsque je rentre l’exppression de la forme canonique dans la calculette je n’ai pas la bonne courbe je me demandais donc si les calculettes déterminaient ou non les formes canoniques ( L’expression dont il s’agit :-3x²-9x+84 ; la forme canonique d’après moi :
         3((X+(3/2))²- (121/4))



        • > Comment utiliser la forme canonique (2nde - 1ere), le 18 décembre 2006, par Bernard DUB

          j’interviens certainement trop tard ( 1 semaine après la question ), néanmoins...

          la bonne réponse est :

          3((x+3/2)²+363/4

          Bernard





        • > Comment utiliser la forme canonique (2nde - 1ere), le 24 décembre 2006, par bulle

          bonjour !!! jai un DM a faire pendant les vacances !!! je veut trouver la forme canonique de x²+4x-12 et je sais pas comment faire !!! merci de m’aider !!!!



      • Comment utiliser la forme canonique (2nde - 1ere), le 9 septembre 2007, par dreamy- girl

        je vs remercie de votre aide , vs venez de m’aider a comprendre mon premier cours de 1ére S merci bcp et continué comme ça vs ete excellent bisous é bonne poursuite :)



        • Comment utiliser la forme canonique (2nde - 1ere), le 7 septembre 2008

          Bonjour, je sais comment écrire une fonction trinôme du second degré sous forme canonique, mais je ne sais pas factoriser, après, cette forme canonique. Par exemple, je dois factoriser, si c’est possible, (x-2)² - x ; (x-2)² + 3x ; (x-2)² + (x+1)² - 5 x. Aidez-moi en m’expliquant, s’il vous plait, car je veux comprendre. Merci d’avance.



          • Comment utiliser la forme canonique (2nde - 1ere), le 7 septembre 2008, par M.G.

            bonsoir, tu peux développer ton expression puis ensuite utiliser la forme canonique ... bon courage



          • Comment utiliser la forme canonique (2nde - 1ere), le 21 janvier 2009, par didi

            Bonjou,Voila j’ai un petit souci je narrive pas a comprendre ce que l’on me demande faire et comment je doila faire exemple je dois determiner le domaine de definition de l(x) : 1 ___________ racine de 2 -x é racine de 3+x Voila aidez moi svp Merci d’avance



        • Comment utiliser la forme canonique (2nde - 1ere), le 12 mai 2010, par bmamine

          Franchement, un grand merci à ce site qui m’a enfin permis de comprendre comment écrire une équation du second degré en forme canonique ... Cela m’enlève une sacrée épine du pied :-D



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