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Le Forum Maths

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par ffred, M.G.
Vos Réactions
  • > Le Forum Maths, le 25 octobre 2004, par jules la mule

    salut ! désolé de vous embêter pendant les vacances mais je beuge sur un pproblème de maths de terminale S sur les equations exponentielles !

    voici l’esposé du problème, on se propose d’etudier les fonctions f dérivables sur [0,+infini[ (1) pour tout x de R+, f(x)f’(x)=1 et f(0)=1

    Partie1 on suppose qu’il existe une fonction f qui vérifie (1) Appliquer la méthode d’Euler pour approcher sur [0 ;0,5] la courbe représentative de la fonction f. On choisit le pas h=0,1 Faire apparaitre les calculs ( en arrondissant au millième) donnant les coordonnées des deux premiers points puis donner les coordonnées des trois autres pointset enfin tracer la courbe approchant de celle de f sur [0 ;0,5].

    Partie2 On se propose de démontrer qu’une fonction vérifiant (1) est nécéssairement strictement positive sur [0 ;+l’infini[. 1) Montrer que si la fonction f vérifie (1) alors ne s’annule pas sur R+ 2) On suppose que la fonction f vérifie la condition (1) et qu’il existe un réel a strictement positif tel que f(a)inférieur à 0. En déduire que l’équation f(x)=0 admet au moins une solution sur [0 ;a] 3) Conclure

    Partie3 Existence et unicité de la fonction f 1) Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I. Déterminer une primitive de la fonction u*u’ 2) En déduire que si f est telle que pour tout x appartient [0 ;+infini[, f(x)f’(x)=1 alors il existe une constante C telle que pour tout x appartient [0 ;+l’infini[ (f(x)) au carré = 2x+C 3)on rappelle que f(0)=1. Déterminer l’expression de f(x) pour tout réel x positif 4) EN déduire les valeurs arrondies au millième de f(0.1),f(0.2),f(0.3),f(0.4), f(0.5) puis comparer avec les valeurs obtenues par la méthode d’Euler.

    voilà, ne vous prenez pas trop la tête si vous voulez pas tout faire c’est pas grave je cherche jusye des pistes pour commencer ! merci beaucoup !





    • > Le Forum Maths, le 27 octobre 2004, par gilbert

      Partie 1 : Ca doit être une méthode par approches successives .. mais c’est facile à retrouver dans un bouquin de cours.

      Partie 2

      1) Par l’absurde Si il existait x0 de R+ tel que f(x0) =0 , on aurait f(x0)* f’(xo) = 0 ce qui est contraire à l’hypothèse.

      2) On sait que f(0)=1 et que f(a)<0 avec a>0.

      D’après le théorème des valeurs intermédiaires qui dit que :

      f étant une fonction dérivable (donc continue) dans [a,b], tout réel compris entre f(a) et f(b) est l’image d’au moins un réel compris entre a et b"

      On en déduit que la valeur 0 comprise entre f(0)=1>0 et f(a)< 0 est l’image d’au moins un réel compris entre 0 et a. CQFD

      3) Comme d’après 1), une fonstion qui vérifie l’équation 1 ne s’annule jamais sur R+, il est impossible qu’il existe a>0 tel que f(a) <0.

      Donc f(x) est strictement positif sur R+.

      Partie 3 :

      1) Un e primitive de uu’ est : 1/2 u^2

      2)si f f’ =1 leur intégrales de 0 à x sont égales à une constante près

      Donc 1/2 f^2 = x +C1 ou f^2 = 2x + C

      3) Entre 0 et x on a 1/2 (f^2-f(0)^2)= 2x - 0 f(x)^2 =2x+1 f(x) = racine (2x+1) avec x sur R+ car f(x) est positive

      4) Calcul

      Ciao !






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